解答根据余弦定理：$$$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos{\left(C \right)}$$$。
在我们的情况下，$$$c^{2} = 9^{2} + \left(9 \sqrt{2}\right)^{2} - \left(2\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(9 \sqrt{2}\right)\cdot \left(\cos{\left(45^{\circ} \right)}\right) = 81$$$。
因此，$$$c = 9$$$。
根据正弦定理：$$$\frac{a}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{c}{\sin{\left(C \right)}}$$$。
在我们的情况下，$$$\frac{9}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{9}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}}$$$。
因此，$$$\sin{\left(A \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$。
有两种可能的情况：
$$$A = 45^{\circ}$$$
第三个角为 $$$B = 180^{\circ} - \left(A + C\right)$$$。
在我们的情况下，$$$B = 180^{\circ} - \left(45^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 90^{\circ}$$$。
面积为 $$$S = \frac{1}{2} a b \sin{\left(C \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(9 \sqrt{2}\right)\cdot \left(\sin{\left(45^{\circ} \right)}\right) = \frac{81}{2}$$$。
周长为 $$$P = a + b + c = 9 + 9 \sqrt{2} + 9 = 9 \left(\sqrt{2} + 2\right)$$$。
$$$A = 135^{\circ}$$$
第三个角为 $$$B = 180^{\circ} - \left(A + C\right)$$$。
在我们的情况下，$$$B = 180^{\circ} - \left(135^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 0^{\circ}$$$。
由于该角为非正，因此这种情况不可能。